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Class 11 RD Sharma Solutions – Chapter 32 Statistics – Exercise 32.5

  • Last Updated : 03 Mar, 2021
Geek Week

Question 1. Find the standard deviation for the following distribution:

      x:     

      y:

    4.5 

     1     

   14.5   

     5

    24.5            34.5    

     12               22

    44.5   

     17   

   54.5           64.5    

     9                4



Solution:

       x       

     4.5

    14.5

   f             fx            x-mean   

   1            4.5            -33.14

   5           72.5           -23.14    

    (x-mean)2    

      1098.45

       535.59

    f(x-mean)2   

      1098.45

      2677.96

    24.5

    34.5

  12          294           -13.14

  22          759            -3.14

       172.73

         9.88

      2072.82

       217.31

    44.5   17         756.5            6.86        47.02       799.35
    54.5    9          490.5           16.86       284.16       2557.47
    64.5   4           258             26.86       721.31      2885.22
 N = 70    2635      12308.57

Here, N = 70,  

\sum f_ix_i=2635\\ \therefore\ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{2635}{70}=37.64

We have, \sum f_i(x_i-\overline{x})^2 = 12308.57\\ \therefore \ \ var (x)=\frac{1}{N}\left[\sum f_i(x_i-\overline{x})^2\right]=\frac{12308.57}{70}=175.84\\ S.D. = \sqrt{var(x)}=\sqrt{175.84}=13.26

Question 2. Calculate the mean and variance.

x:

y:

0

51

1         2

203    383

3

525

4

532

5

408

6

273

7

139

8       9

43     27

10

10

11

4

12

2

Solution:

X

F

Fx          x-mean

F(x-mean)

(x-mean)2

F(x-mean)2

0

1

51

203

0                 -6

203             -5

-306

-1015

36

25

1836

5075

2

3

383

525

766             -4  

1575           -3 

-1532

-1575

16

9

6128

4725

4

5

6`

532

408

273

2128           -2

2040           -1

1638            0

-1064

-408

0

4

1

0

2128

408

0

7

8

139

43

973              1

344              2

139

86

1

4

139

172

9

10

27

10

243              3

100              4

81

40

9

16

243

160

11

12

4

2

44                5

24                6

20

12

25

36

100

72

 

2600   

10078

-5522

 

21186

Here, N = 2600, \sum f_ix_i=10078\\ \therefore\ \ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{10078}{2600}=3.88

Since,

var(x)=h^2\left(\frac{1}{N}\sum f_i(x-mean)^2_i-\{\frac{1}{N}\sum f_i(x-mean)_i\}^2\right)\\ \sigma^2=1\left(\frac{21186}{2600}-\left(\frac{-5522}{2600}\right)^2\right)\\ \sigma^2=8.14846-4.51072\\ \sigma^2=3.64



Question 3. Find the mean, and the standard deviation for the following data: 

(i)

              Year render:

     No. of persons (cumulative)   

  10  

  15

   20   

   32

   30   

   51 

   40               50                 60  

   78               97                109

(ii)

Marks:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Frequency:

1

6

6

8

8

2

2

3

0

2

1

0

0

0

1

Solution:

(i)

xi

Cumulative frequency

fi

fixi

fixi2

10

15

15

150

1500

20

32

17

340

6800

30

51

19

570

17100

40

78

27

1080

43200

50

97

19

950

47500

60

109

12

720

43200

 

 

N = 109

Total = 3810

Total = 159300

Mean=\frac{3810}{109}=34.95\\ Var=\frac{159300}{109}-(34.95)^2=239.96\\ SD=\sqrt{239.96}=15.49

(ii)

xi

fi

fixi

fixi2

2

1

2

4

3

6

18

54

4

6

24

96

5

8

40

200

6

8

48

288

7

2

14

98

8

2

16

128

9

3

27

243

10

0

0

0

11

2

22

242

12

1

12

144

13

0

0

0

14

0

0

0

15

0

0

0

16

1

16

256

             

N = 40        

Total = 239                   

Total = 1753       

Mean=\frac{239}{40}=5.975\\ Var=\frac{1753}{40}-(5.975)^2=8.12\\ SD=\sqrt{8.12}=2.85

Question 4. Find the standard deviation for the following data:

(i) 

    x:   

    y:   

   3   

   7

   8   

  10

   13             18    

   15             10

   23   

    6

(ii) 

x

2

3

4

5

6

7

f

4

9

16

14

11

6

Solution:

(i)

     x            f     

     3            7

     8           10

   fx               x-mean              (x-mean)2   

   21                -9.79                    95.88

   80                -4.79                    22.96

   f(x-mean)2   

      671.13

      229.60

    13          15

    18          10   

  195                 0.21                     0.04

  180                 5.21                    27.13

        0.65

      271.26

    23           6  138                10.21                  104.21      625.26
                 48  614     1797.92

Here, N = 48, and \sum f_ix_i=614

\therefore\ \ \ \overline{x}=\frac{1}{N}(\sum f_ix_i)=\frac{614}{48}=12.79\\ \sum f_i(x_i-\overline{x})^2=1797.92\\ \therefore\ \ \ \ Var(x)=\frac{1}{N}\left[\sum f_i(x_i-\overline{x})^2\right]=\frac{1797.92}{48}=37.46\\ S.D.=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{37.46}=6.12

(ii)

    xi    

        fi           

          fixi2             

2

4

16

3

9

81

4

16

256

5

14

350

6

11

396

7

6

294

 

N = 60

Total = 1393

Mean=\frac{8+27+64+70+66+42}{60}=\frac{277}{60}=4.62\\ Var=\frac{1393}{60}-(4.62)^2=1.88\\ SD=\sqrt{1.88}=1.37

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