# Class 10 RD Sharma Solutions – Chapter 6 Trigonometric Identities – Exercise 6.1 | Set 3

Last Updated : 30 Apr, 2021

### Question 57. tan2 A sec2 B âˆ’ sec2 A tan2 B = tan2 A âˆ’ tan2 B

Solution:

We have,

L.H.S. = tan2 A sec2 B âˆ’ sec2 A tan2 B

= tan2 A (1 + tan2 B) âˆ’ tan2 B (1+ tan2 A)

= tan2 A + tan2 A tan2 B âˆ’ tan2 B âˆ’ tan2 A tan2 B

= tan2A âˆ’ tan2B

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 58. If x = a sec Î¸ + b tan Î¸ and y = a tan Î¸ + b sec Î¸, Prove that x2 âˆ’ y2 = a2 âˆ’ b2.

Solution:

We have,

L.H.S. = x2 âˆ’ y2

= (a sec Î¸ + b tan Î¸)2 âˆ’ (a tan Î¸ + b sec Î¸)2

= a2 sec2 Î¸ + b2 tan2 Î¸ + 2ab sec Î¸ tan Î¸ âˆ’ a2 tan2 Î¸ âˆ’ b2 sec2 Î¸ â€“ 2ab sec Î¸ tan Î¸

= a2 sec2 Î¸ + b2 tan2 Î¸ âˆ’ a2 tan2 Î¸ âˆ’ b2 sec2 Î¸

= a2 sec2 Î¸ âˆ’ b2 sec2 Î¸ + b2 tan2Î¸ âˆ’ a2 tan2 Î¸

= sec2 Î¸ (a2 âˆ’ b2) + tan2 Î¸ (b2 âˆ’ a2)

= sec2Î¸ (a2 âˆ’ b2) âˆ’ tan2Î¸ (a2 âˆ’ b2)

= (sec2 Î¸ âˆ’ tan2Î¸) (a2 âˆ’ b2

= a2 âˆ’ b2

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 59. If 3 sin Î¸ + 5 cos Î¸ = 5, prove that 5 sin Î¸ â€“ 3 cos Î¸ = 3.

Solution:

We are given,

=> 3 sin Î¸ + 5 cos Î¸ = 5

=> 3 sin Î¸ = 5 (1 âˆ’ cos Î¸)

=> 3 sin Î¸ =

=> 3 sin Î¸ =

=> 3 sin Î¸ =

=> 3 (1 + cos Î¸) = 5 sin Î¸

=> 3 + 3 cos Î¸ = 5 sin Î¸

=> 5 sin Î¸ âˆ’ 3 cos Î¸ = 3

Hence proved.

### Question 60. If cosec Î¸ + cot Î¸ = m and cosec Î¸ â€“ cot Î¸ = n, prove that m n = 1.

Solution:

We have,

L.H.S. = m n

= (cosec Î¸ + cot Î¸) (cosec Î¸ â€“ cot Î¸)

= cosec2 Î¸ âˆ’ cot2 Î¸

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 61. If Tn = sinn Î¸ + cosn Î¸, Prove that .

Solution:

We have,

L.H.S. =

= sin2 Î¸ cos2 Î¸

And R.H.S. =

= sin2 Î¸ cos2 Î¸

Therefore, L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.

### Question 62.

Solution:

We have,

L.H.S. =

= (tan Î¸ + sec Î¸)2 + (tan Î¸ â€“ sec Î¸)2

= tan2Î¸ + sec2Î¸ + 2 tan Î¸ sec Î¸ + tan2 Î¸ + sec2Î¸ â€“ 2 tan Î¸ sec Î¸

= 2[tan2 Î¸ + sec2 Î¸]

= 2\frac{sin^2θ}{cos^2θ}+\frac{1}{cos^2θ}

= 2\frac{1+sin^2θ}{cos^2θ}

= 2\frac{1+sin^2θ}{1-sin^2θ}

= R.H.S.

Hence proved.

Solution:

We have,

L.H.S. =

= R.H.S.

Hence proved.

Solution:

We have,

L.H.S. =

= R.H.S.

Hence proved.

### (ii)

Solution:

We have,

L.H.S. =

= sec Î¸ âˆ’ tan Î¸

= 1/cos Î¸ âˆ’ sin Î¸/cos Î¸

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 65. (sec A + tan A âˆ’ 1) (sec A – tan A + 1) = 2 tan A

Solution:

We have,

L.H.S. = (sec A + tan A âˆ’ 1) (sec A – tan A + 1)

= [sec A + tan A âˆ’ (sec A + tan A) (sec A â€“ tan A)] [sec A â€“ tan A + (sec A â€“ tan A)(sec A + tan A)]

= (sec A + tan A) (1 âˆ’ (sec A â€“ tan A)) (sec A â€“ tan A) (1 + (sec A + tan A))

= (sec2 A âˆ’ tan2 A) (1 â€“ sec A + tan A) (1 + sec A + tan A)

= (1 â€“ sec A + tan A) (1 + sec A + tan A)

= (1 â€“ 1/cos A + sin A/cos A) (1 + 1/cos A + sin A/cos A)

= sin A/cos A

= 2 tan A

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 66. (1 + cot A âˆ’ cosec A)(1 + tan A + sec A) = 2

Solution:

We have,

L.H.S. = (1 + cot A âˆ’ cosec A)(1 + tan A + sec A)

= (1 + cos A/sin A âˆ’ 1/sin A)(1 + sin A/cos A + 1/cos A)

= 2

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 67. (cosec Î¸ â€“ sec Î¸) (cot Î¸ â€“ tan Î¸) = (cosec Î¸ + sec Î¸) (sec Î¸ cosec Î¸ âˆ’ 2)

Solution:

We have,

L.H.S. = (cosec Î¸ â€“ sec Î¸) (cot Î¸ â€“ tan Î¸)

And R.H.S. = (cosec Î¸ + sec Î¸) (sec Î¸ cosec Î¸ âˆ’ 2)

Therefore, L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.

### Question 68.

Solution:

We have,

L.H.S. =

= cosec A âˆ’ sec A

= R.H.S.

Hence proved.

Solution:

We have,

L.H.S. =

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 70.

Solution:

We have,

= sin A cos3 A + cos A sin3 A

= sin A cos A (sin2 A + cos2 A)

= sin A cos A

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 71. sec4 A (1 âˆ’ sin4 A) â€“ 2 tan2 A = 1

Solution:

We have,

L.H.S. = sec4 A (1 âˆ’ sin4 A) â€“ 2 tan2 A

= sec4 A – tan4 A â€“ 2 tan4 A

= (sec2 A)2 – tan4 A â€“ 2 tan4 A

= (1+ tan2 A)2 âˆ’ tan4 A âˆ’ 2tan4 A

= 1 + tan4 A + 2tan2 A âˆ’ tan4 A âˆ’ 2tan4 A

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 72.

Solution:

We have,

L.H.S. =

And R.H.S. =

Therefore, L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.

### Question 73. (1 + cot A + tan A) (sin A â€“ cos A) = sin A tan A â€“ cos A cot A

Solution:

We have,

L.H.S. = (1 + cot A + tan A) (sin A â€“ cos A)

= sin A â€“ cos A + cot A sin A â€“ cot A cos A + sin A tan A â€“ tan A cos A

= sin A â€“ cos A + cos A â€“ cot A cos A + sin A tan A â€“ sin A

= sin A tan A â€“ cos A cot A

= R.H.S

Hence proved.

### Question 74. If x cos Î¸/a + y sin Î¸/b = 1 and x cos Î¸/a â€“ y sin Î¸/b = 1, then prove that x2/a2 + y2/b2 = 2.

Solution:

We have,

x cos Î¸/a + y sin Î¸/b = 1  . . . . (1)

x cos Î¸/a â€“ y sin Î¸/b = 1  . . . . (2)

On squaring both sides of (1) and (2) and adding them we get,

=> (x cos Î¸/a + y sin Î¸/b)2 + (x cos Î¸/a â€“ y sin Î¸/b)2 = 1 + 1

=>  = 2

=>  = 2

=>  = 2

Hence proved.

### Question 75. If cosec Î¸ â€“ sin Î¸ = a3, sec Î¸ â€“ cos Î¸ = b3, Prove that a2b2 (a2+ b2) = 1.

Solution:

We are given,

=> cosec Î¸ â€“ sin Î¸ = a3

=> 1/sin Î¸ â€“ sin Î¸ = a3

=> a3

=> a3

=> a =

On squaring both sides, we get,

=> a2

Also we have,

=> sec Î¸ â€“ cos Î¸ = b3

=> 1/cos Î¸ â€“ cos Î¸ = b3

=> b3

=> b3

=> b =

On squaring both sides, we get,

=> b2

So, L.H.S. = a2b2 (a2+ b2)

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 76. If a cos3 Î¸ + 3a cos Î¸ sin2 Î¸ = m and a sin3 Î¸ + 3a cos2 Î¸ sin Î¸ = n, prove that

Solution:

We are given,

m = a cos3 Î¸ + 3a cos Î¸ sin2 Î¸ and n = a sin3 Î¸ + 3a cos2 Î¸ sin Î¸

So, L.H.S. =

= (a cos3 Î¸ + 3a cos Î¸ sin2 Î¸ + a sin3 Î¸ + 3a cos2 Î¸ sin Î¸)2/3 + (a cos3 Î¸ + 3a cos Î¸ sin2 Î¸ â€“ a sin3 Î¸ â€“ 3a cos2 Î¸ sin Î¸)2/3

= a2/3 ((cos Î¸ + sin Î¸)3)2/3 + a2/3 ((cos Î¸ âˆ’ sin Î¸)3)2/3

= a2/3 [(cos Î¸ + sin Î¸)2 + (cos Î¸ âˆ’ sin Î¸)2]

= a2/3 [cos2 Î¸ + sin2 Î¸ + 2 sin Î¸ cos Î¸ + cos2 Î¸ + sin2 Î¸ âˆ’ 2 sin Î¸ cos Î¸]

= 2 a2/3

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 77. If x = a cos3 Î¸, y = b sin3Î¸, prove that (x/a)2/3 + (y/b)2/3 = 1.

Solution:

Given x = a cos3 Î¸ and y = b sin3 Î¸.

So, L.H.S. = (x/a)2/3 + (y/b)2/3

= (cos3 Î¸)2/3 + (sin3 Î¸)2/3

= cos2 Î¸ + sin2 Î¸

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 78. If a cos Î¸ + b sin Î¸ = m and a sin Î¸ â€“ b cos Î¸ = n, Prove that a2 + b2 = m2 + n2.

Solution:

We have,

R.H.S = m2 + n2

= (a cos Î¸ + b sin Î¸)2 + (a sin Î¸ â€“ b cos Î¸)2

= a2 cos2 Î¸ + b2 sin2Î¸ + 2ab sin Î¸ cos Î¸ + a2 sin2 Î¸ + b2 cos2 Î¸ â€“ 2ab sin Î¸ cos Î¸

= a2 cos2 Î¸ + a2 cos2 Î¸ + b2 sin2 Î¸ + b2 cos2 Î¸

= a2 (sin2 Î¸ + cos2 Î¸) + b2 (sin2 Î¸ + cos2 Î¸)

= a2 + b

= L.H.S.

Hence proved.

### Question 79. If cos A + cos2 A = 1, Prove that sin2 A + sin4 A = 1.

Solution:

We are given,

=> cos A + cos2 A = 1

=> cos A = 1 âˆ’ cos2 A

=> cos A = sin2 A  . . . . (1)

Now, L.H.S. = sin2 A + sin4 A

Using (1), we get,

= cos A + cos2 A

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 80. If cos Î¸ + cos2 Î¸ = 1, prove that sin12 Î¸ + 3 sin10 Î¸ + 3 sin8 Î¸ + sin6 Î¸ + 2 sin4 Î¸ + 2 sin2 Î¸ âˆ’ 2 = 1.

Solution:

We are given,

=> cos Î¸ + cos2 Î¸ = 1

=> cos Î¸ = 1 âˆ’ cos2 Î¸

=> cos Î¸ = sin2 Î¸   . . . . (1)

Now, L.H.S. = sin12 Î¸ + 3 sin10 Î¸ + 3 sin8 Î¸ + sin6 Î¸ + 2 sin4 Î¸ + 2 sin2 Î¸ âˆ’ 2

= (sin4 Î¸)3 + 3 sin4 Î¸ sin2 Î¸ (sin4 Î¸ + sin2 Î¸) + (sin2 Î¸)3 + 2(sin2 Î¸)2 + 2 sin2 Î¸ âˆ’ 2

Using (1), we get,

= (sin4 Î¸ + sin2 Î¸)3 + 2cos2 Î¸ + 2 cos Î¸ âˆ’ 2

= ((sin2 Î¸)2 + sin2 Î¸)3 + 2 cos2 Î¸ + 2 cos Î¸ â€“ 2

= (cos2 Î¸ + sin2 Î¸)3 + 2 cos2 Î¸ + 2 cos Î¸ âˆ’ 2

= 1 + 2(cos2 Î¸ + sin2 Î¸) âˆ’ 2

= 1 + 2(1) âˆ’2

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 81. Given that: (1 + cos Î±)(1 + cos Î²)(1 + cos Î³) = (1 â€“ cos Î±)(1 â€“ cos Î²)(1 â€“ cos Î³). Show that one of the values of each member of this equality is sin Î± sin Î² sin Î³.

Solution:

We have,

= (1 + cos Î±)(1 + cos Î²)(1 + cos Î³)

= 2 cos2 (Î±/2).2 cos2 (Î²/2).2 cos2 (Î³/2)

Therefore, sin Î± sin Î² sin Î³ is the member of equality.

Hence proved.

### Question 82. If sin Î¸ + cos Î¸ = x, prove that sin6 Î¸ + cos6 Î¸= .

Solution:

We are given,

=> sin Î¸ + cos Î¸ = x

On squaring both sides, we get,

=> (sin Î¸ + cos Î¸)2 = x2

=> sin2 Î¸ + cos2 Î¸ + 2 sin Î¸ cos Î¸ = x2

=> 2 sin Î¸ cos Î¸ = x2 âˆ’ 1

=> sin Î¸ cos Î¸ = (x2 âˆ’ 1)/2   . . . . (1)

We know,

=> sin2 Î¸ + cos2 Î¸ = 1

Cubing on both sides, we get

=> (sin2 Î¸ + cos2 Î¸)3 = 13

=> sin6 Î¸ + cos6 Î¸ + 3 sin2 Î¸ cos2 Î¸ (sin2 Î¸ + cos2 Î¸) = 1

=> sin6 Î¸ + cos6 Î¸ = 1 â€“ 3 sin2 Î¸ cos2Î¸

From (1), we get,

=> sin6 Î¸ + cos6 Î¸ = 1 â€“

=> sin6 Î¸ + cos6 Î¸ =

Hence proved.

### Question 83. If x = a sec Î¸ cos Ï•, y = b sec Î¸ sin Ï• and z = c tan Ï•, show that, x2/a2 + y2/b2 âˆ’ z2/c2 = 1.

Solution:

We are given, x = a sec Î¸ cos Ï•, y = b sec Î¸ sin Ï•, z = c tan Ï•

On squaring x, y, z, we get,

x2 = a2 sec2 Î¸ cos2 Ï• or x2/a2 = sec2 Î¸ cos2 Ï•  . . . . (1)

y2 = b2 sec2 Î¸ sin2 Ï• or y2/b2 = sec2 Î¸ sin2 Ï• . . . . (2)

z2 = c2 tan2 Ï• or z2/c2 = tan2 Ï•   . . . . (3)

Now L.H.S. = x2/a2 + y2/b2 âˆ’ z2/c2

Using (1), (2) and (3), we get,

= sec2 Î¸ cos2 Ï• + sec2 Î¸ sin2 Ï• âˆ’ tan2 Ï•

= sec2Î¸ (cos2 Ï• + sin2 Ï•) âˆ’ tan2 Ï•

= sec2Î¸ (1) âˆ’ tan2 Ï•

= sec2 Î¸ âˆ’ tan2 Î¸

= 1

= R.H.S.

Hence proved.

### Question 84. If sin Î¸ + 2 cos Î¸. Prove that 2 sin Î¸ â€“ cos Î¸ = 2.

Solution:

We are given, sin Î¸ + 2 cos Î¸ = 1

On squaring both sides, we get,

=> (sin Î¸ + 2 cos Î¸)2 = 12

=> sin2 Î¸ + 4 cos2 Î¸ + 4 sin Î¸ cos Î¸ = 1

=> 4 cos2 Î¸ + 4 sin Î¸ cos Î¸ = 1 â€“ sin2 Î¸

=> 4 cos2 Î¸ + 4 sin Î¸ cos Î¸ â€“ cos2 Î¸ = 0

=> 3 cos2 Î¸ + 4 sin Î¸ cos Î¸ = 0   . . . . (1)

We have, L.H.S. = 2 sin Î¸ â€“ cos Î¸

On squaring L.H.S., we get,

= (2 sin Î¸ â€“ cos Î¸)2

= 4 sin2 Î¸ + cos2 Î¸ â€“ 4 sin Î¸ cos Î¸

From (1), we get,

= 4 sin2 Î¸ + cos2 Î¸ + 3 cos2Î¸

= 4 sin2 Î¸ + 4 cos2 Î¸

= 4(sin2 Î¸ + cos2 Î¸)

= 4

So, we have,

=> (2 sin Î¸ â€“ cos Î¸)2 = 4

=> 2 sin Î¸ â€“ cos Î¸  = 2

Hence proved.

Previous
Next